داشته باشیم
(۸)
شکل ۱-۳ مثالی از یک مجموعه فازی محدب است و شکل ۱-۴ مجموعهی فازی نامحدب را نشان میدهد.
شکل (۱-۳ ) مجموعه فازی محدب [۱]
شکل (۱-۴ ) مجموعه فازی نامحدب [۱]
تعریف ۱-۵-۳- ارتفاع[۱۵]مجموعه فازی عبارتست از، بزرگترین درجه عضویت به دست آمده برای هر عنصر این مجموعه، به عبارت دیگر
(۹) .
تعریف ۱-۵-۴- مجموعهی فازی را نرمال[۱۶]گویند اگر
(۱۰)
یعنی اگر ارتفاع مجموعه فازی برابر یک باشد، آنگاه نرمال است.
تعریف ۱-۵-۵- وقتی مجموعه مرجع مجموعه ای متناهی باشد و یک مجموعهی فازی تعریف شده روی آن، در این صورت، عدد اصلی[۱۷] مجموعه فازی روی را به صورت زیر تعریف میکنیم
(۱۱)
تعریف ۱-۵-۶- برای مجموعه فازی، هسته عبارت است از
(۱۲)
که در واقع هسته همان ۱- برش میباشد.
تعریف ۱-۵-۷- محمل[۱۸]مجموعه فازی را با نشان میدهیم و عبارت است از مجموعه عناصری از که درجه عضویت آنها بزرگتر از صفر است، به عبارتی دیگر
(۱۳)
۱-۶- عملگرهای جبری روی مجموعههای فازی
در این بخش اجتماع، اشتراک و متمم مجموعههای فازی را معرفی میکنیم.
تعریف ۱-۶-۱- اجتماع مجموعههای فازی یعنی به کمک تابع عضویتی به صورت زیر تعریف می شود
(۱۴)
که در آن برای هر ،
را نیز میتوان به صورت بیان کرد.
تعریف ۱-۶-۲- اشتراک مجموعههای فازی یعنی به کمک تابع عضویت زیر تعریف می شود
(۱۵)
که در آن برای هر ،
را نیز میتوان به صورت بیان کرد.
تعریف ۱-۶-۳- متمم مجموعهفازی یعنی خود یک مجموعهی فازی است که بهوسیله تابع عضویت زیر تعریف می شود
(۱۶) تعریف ۱-۶-۴- تساوی[۱۹]دو مجموعه فازی و به صورت زیر تعریف می شود
(۱۷)
تعریف ۱-۶-۵- مجموعه فازی را زیر مجموعهی مجموعه فازی گوییم و مینویسیم، هرگاه(۱۸)
تذکر ۱-۶-۱- قوانین تناقض[۲۰] و میانه غیر مشمول[۲۱] برای مجموعههای فازی برقرار نیست. یعنی نمیتوان نتیجه گرفت که همواره
تذکر ۱-۶-۲- توجه کنید تعاریف متمم، اجتماع و اشتراک که در بالا تعریف شده، تنها راه ممکن برای تعریف این اصطلاحات نبوده و یکی از سادهترین تعاریفی است که توسط زاده ارائه گردید و به طور وسیعی بهکاربرده شده است.
۱-۷- اصل توسیع[۲۲]
یکی از اساسیترین مفاهیم تئوری مجموعههای فازی که می تواند مفاهیم ریاضیات غیرفازی را به مجموعههای فازی تعمیم دهد، اصل توسیع میباشد که شکل مقدماتی آن اولین بار توسط پرفسور زاده در سال ۱۹۶۵مطرح گردید.
با معرفی اصل توسیع میتوانیم عملگرهای جبری روی مجموعههای فازی را تعریف کنیم.
تعریف ۱-۷-۱- نگاشت را برای ایجاد رابطه بین مجموعهی فازی روی و مجموعهی فازی رویتوسعه میدهیم
در حالتی کهیک نگاشت یک به یک باشد، رابطه قبلی را میتوانیم به صورت سادهی زیر بنویسیم
تعریف ۱-۷-۲- فرض کنید به ترتیب عنصرهایی در باشند. مجموعهی همهی تاییهای مرتب را حاصل ضرب دکارتی نامیده شده و به صورت نمایش داده می شود.
تعریف ۱-۷-۳- فرض کنید حاصل ضرب دکارتی مجموعه مرجع باشد. همچنین فرض کنید مجموعههایفازی روی باشند. حاصل ضرب دکارتی مجموعههای فازی را میتوان به صورت زیر روی مجموعهی مرجع تعریف کرد
.
تعریف ۱-۷-۴- اصل توسیع روی فضای حاصل ضرب دکارتی را به صورت زیر تعریف میکنیم
فرض کنیدنگاشتی از بهاست که دارای ضابطه
میباشد. با توسعه تابع رابطه بین حاصل ضرب دکارتی از مجموعههای فازی روی و یک مجموعهی فازی مثل روی را به دست میآوریم به طوری که
که در آن به معنای تصویر معکوس است.
فصل دوم
بررسی اندازه های فاصله برای مجموعههای فازی شهودی
مقدمه
زاده در سال ۱۹۶۸ مجموعههای فازی را بر اساس تابع عضویت تعریف کرد. پس از مدتی، در سال ۱۹۸۳، آتاناسو[۲۳][۸-۳] با تاکید بر این حقیقت که بررسی تعلق یک عنصر به مجموعه ای فازی تنها با بررسی درجه عضویت آن نمی تواند برداشت صحیحی از یک فرایند واقعی باشد، مجموعههای فازی را بر اساس دو پارامتر معرفی کرد. در این تعریف، او علاوه بر تابع عضویت ، تابع عدم عضویت () را با شرط برای هر به تعریف افزود. مجموعه ای فازی با چنین تعریفی که در زندگی طبیعی نیز قابل لمستر است، مجموعه فازی شهودی[۲۴] () نام گذاری گردید. در سال ۲۰۰۰ سزمیت[۲۵] و کاسپرزیک[۲۶] برای توصیف مجموعههای فازی شهودی از سه پارامتر: تابع عضویت، تابع عدم عضویت و درجه تردید[۲۷] استفاده کردند.
کاسپرزیک در سال ۱۹۹۷ اندازه های فاصله را در نظریه مجموعههای فازی به جای توابع مشخصه با تابع عضویت مجموعهها بیان کرد. او اندازه فاصله هامینگ، اندازه فاصله هامینگ نرمال شده، اندازه فاصله اقلیدسی و اندازه فاصله اقلیدسی نرمال شده را برای مجموعههای فازی تعریف کرد. آتاناسو در سال ۱۹۹۹ اندازه های فاصله را برای مجموعههای فازی شهودی بیان کرد. در سال ۲۰۰۰ سزمیت و کاسپرزیک با بهره گرفتن از سه پارامتر مجموعههای فازی شهودی که در بالا به آنها اشاره شد، اندازه های فاصله را ارائه کردند.
اندازههای فاصله دیگری نیز وجود دارند که بر اساس متر هاسدورف هستند و در نظریه مجموعههای فازی استفاده میشوند. گرگورزوسکی در سال۲۰۰۴ اندازه های فاصله را براساس متر هاسدورف روی مجموعههای فازی شهودی بیان کرد. یانگ وچیکلا [۲۸]در سال ۲۰۱۲ حالت تعمیم یافته اندازه های فاصله گرگورزوسکی را با لحاظ درجه تردید پیشنهاد کردند.
در این فصل، در نظر داریم تا تعاریف اندازه فاصله برای مجموعههای فازی شهودی را بر مبنای سه پارامتر مذکور توصیف کنیم. در این فصل میخواهیم اندازه فاصلهی هامینگ، اندازه فاصله هامینگ نرمال شده، اندازه فاصله اقلیدسی و اندازه فاصله اقلیدسی نرمال شده را برای مجموعههای فازی شهودی تعریف کنیم. در بخش آخر نیز به معرفی اندازه فاصله هاسدورف برای مجموعههای غیرفازی میپردازیم و توسیع آن را برای مجموعههای فازی شهودی بیان میکنیم. در انتهای این فصل ما با بیان یک اندازه فاصله مبتنی بر وزن اندازه های فاصله معرفی شده را با هم مقایسه میکنیم.
۲-۱- مجموعههای فازی شهودی
با ارجاع دوباره به تعریف ۱-۳-۱- ، مجموعه فازی روی را به عنوان یک مجموعه از زوجهای مرتب به فرم
(۱۹)
تعریف نمودیم به طوری که تابع عضویت مجموعهفازی میباشد و درجه تعلق به است. آنچه را که باید در اینجا خاطرنشان نمود آن است که همیشه عدم عضویت برابر
() نیست.
آتاناسو یک حالت تعمیم یافته از مجموعه فازی را پیشنهاد کرد و آن را مجموعه فازی شهودی نامید که به صورت زیر تعریف میشود.
تعریف۲-۱-۱- مجموعه فازی شهودی روی به وسیله یک مجموعه از سهتاییهای مرتب
(۲۰)
بیان می شود که در آن و توابعی هستند با شرط
(۲۱)
برای هر ، مقادیر به ترتیب درجه عضویت و درجه عدم عضویت[۲۹] آن عضو را در بیان می کنند. به آسانی مشاهده میکنیم که
هم ارز (۱۹) است یعنی هر مجموعه فازی یک حالت خاصی از مجموعههای فازی شهودی میباشد.
در ادامه، خانواده تمام مجموعههای فازی روی را به وسیله و خانواده تمام مجموعههای فازی شهودی روی را با نمایش میدهیم.
تعریف۲-۱-۲- برای هر مجموعه فازی شهودیروی ، مقدار
(۲۲)
را شاخص شهودی در یا درجه تردید در تعریف میکنیم. واضح است که برای هر ، رابطه برقرار است.
اگر یک مجموعهفازی باشد آنگاه برای هر است، یعنی داریم
بر اساس تعریف آتاناسو و ترکیب آن با تعریف کاسپرزیک میتوانیم مجموعههای فازی شهودی را در دستگاه مختصات نشان دهیم. در این دستگاه هر مختص به عنوان یک نقطه، مقدار را دارد. فرض میکنیم مختص[۳۰]، عقیدهای است که آن را مطرح کردیم و به طور کامل پذیرفته می شود، مختص ، عقیدهای است که کاملا رد می شود و مختص ، به طورکامل مردد است.
مثلث (شکل۲-۱) یک مجموعه فازی شهودی را نمایش میدهد. برای نمایش مجموعه فازی شهودی یک مکعب با یالی به طول مساوی یک را در یک دستگاه مختصات سه بعدی با سه متغیر در نظر میگیریم. در این نمایش قطرهای مکعب را طوری رسم می کنیم که تصویر یک مثلث در آن ایجاد شود(مثلث در شکل۲-۱). در این حالت ضلع آن مثلث روی کف مکعب قرار میگیرد، تصویر یک مجموعه فازی است که میزان تردید() درآن صفر است. مختصات نقاط و به ترتیب و است. هرچه قدر از سمت کف مکعب( از نقطه C) به سمت نقطه بالا برویم بر میزان شاخص تردید افزوده میگردد تا جایی که در انتها، مقدار یک می شود. در این حالت مثلث تصویر یک مجموعه فازی شهودی است. شکل۲-۲ نمایش هندسی تصویر متعامد این مثلث بر روی سطح است. در این حالت نقطه بر روی تصویر می شود. در تصویر دو بعدی نیز مانند تصویر سه بعدی میبینیم که بر روی قطر Bمیزان تردید صفر است.
شکل( ۲-۱ ) مجموعه فازی شهودی(مثلث )
شکل (۲-۲) تصویر متعامد از بیان واقعی (سه بعدی)
جهت دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت jemo.ir مراجعه نمایید.