(۲-۹۵)
در حالت عمومی یعنی در حالتی که دما در زمان مصرف تغییر کند، انرژی کل رها شده در مدت همجوشی توسط رابطه­ زیر بیان می‌شود:
(۲-۹۶)
مصرف دوتریوم وهلیوم ۳ علاوه بر بررسی از بین رفتن دوترویم و هلیوم ۳، باید میزان تزریق و نشت در واحد حجم مورد نظر نیز منظور شود. معادله توازن بصورت زیر در می‌آید:
(۲-۹۷)
میزان تزریق یون را به صورت زیر نشان خواهیم داد:
(۲-۹۸)
که به تابع کارکرد راکتور بستگی دارد. واحد s_i، cm^-3.s^-1 است. نشت یونی از واحد حجم را می توان متناسب با دانسیته­ی یونی گرفت. پس:
(۲-۹۹)
که در آن  ، زمان ثابت است که میانگین زمان اقامت^[۶۳]یون­ها را مشخص می­ کند. بنابراین معادله­ توازن ذره کامل برای واکنش D-³He را می توان با مجموعه معادلات جفت شده زیر توصیف کرد:

(۲-۱۰۰)
(۲-۱۰۱)
S_D و S_3He سرعت تزریق سوخت‌ها را می­دهد و τ_D وτ زمان حبس این یون‌ها می‌باشد. نتایج بدست آمده از ترکیب معادلات بالا، تفسیر سودمندی را برای دینامیک همجوشی فراهم می­سازد.
(۲-۱۰۲)
مخلوطی مساوی از دوتریوم وهلیوم ۳ با میزان تزریق و نشت یکسان، با شرط زیر مشخص می‌شود:
(۲-۱۰۳)
(۲-۱۰۴)
(۲-۱۰۵)
در نتیحه معادله­ دینامیکی برای دانسیته­ی یونی کل به صورت زیر است:
(۲-۱۰۶)
این یک معادله­ دیفرانسیلی درجه اول غیر خطی است و گاهی معادله ی ریکانی^[۶۴] نامیده می‌شود و همانند معادله­های غیرخطی، دارای مشکلاتی برای واکاوی می‌باشد. به هرحال، با ترکیب چندین تصورات تحلیلی و هندسی، می­توانیم اطلاعات کیفی درباره تابع زمانی دانسیته­ی یونی  و دانسیته­ی توان بدست آوریم [۵۱, ۴۷].
فصل سوم
کنترل ناپایداری گرمایی در سوخت پلاسمای D-³He
فصل سوم:کنترل ناپایداری گرمایی در سوخت پلاسمای D-³He
مشکل اساسی راکتورهای همجوشی
همانطور که گفته شد، واکنش همجوشی هسته­ای دارای مزیت­های زیادی نسبت به واکنش شکافت هسته­ای می‌باشد. با این حال، مشکل اساسی رسیدن به شرایط احتراق جهت ایجاد همجوشی هسته­ای و ترکیب هسته‌های سبک، غلبه بر نیروی الکترواستاتیکی بین آنها می‌باشد. بهترین روش پیشنهادی در راستای تامین انرژی مورد نیاز برای غلبه بر این دافعه­ الکترواستاتیکی، گرم کردن سوخت تا دمایی است که در آن سرعت گرمایی هسته­ها به میزان لازم برای تولید واکنش‌های همجوشی برسد. همجوشی هسته­ای با این روش، همجوشی گرماهسته­ای نام دارد. چنین دمایی حدود keV10 است که در این دما سوخت کاملا یونیزه می‌شود.
کنترل مقدار دانسیته و دمای پلاسما و همچنین تغییرات آنها از اساسی­ترین مشکلات راکتورهای همجوشی است. متاسفانه حالت اقتصادی راکتورهای همجوشی اغلب نیاز به راکتوری برای کار در شرایطی دارد که سرعت واکنش گرما هسته­ای با افزایش دمای پلاسما، افزایش می‌یابد. در این مناطق ناپایدار حرارتی یک سیستم کنترل فعال برای ایجاد ثبات در واکنش گرماهسته‌ای نیاز است. در مطالعات موجود از روش‌های مختلف کنترل بر مبنای مدل‌های خطی و غیر خطی استفاده شده است. در این فصل یک مدل غیر خطی صفر بعدی شامل معادلات تقریبی بقای انرژی و دانسیته گونه‌ها و یک روش کنترل خطی مورد بررسی قرار گرفته است تا در یک راکتور همجوشی، با ایجاد بازخورد باعث ایجاد پایداری در شرایط سوخت شود.
در حالت رقابت تجاری، راکتور همجوشی نیاز به سوختن طولانی مدت در حالت پایدار سوختن پلاسما در نقاط عملکردی‌ای دارد که توسط مقدار بالای Q تعیین مشخصه می‌شود. (Q نسبت توان همجوشی به توان کمکی است.) کنترل سوختن فعال اغلب نیاز به نگهداری شرایط پلاسما، نزدیک به نقطه احتراق و یا در شرایط احتراق دارد (P_aux=0 و در نتیجه Q=∞). اگرچه برای بیشتر روش‌های محصور سازی نقاط عملکردی وجود دارد که ذاتا پایدار هستند، اما این نقاط اغلب در مناطقی با دمای بالا و دانسیته‌ی پایین وجود دارند که متاسفانه، محدودیت‌های تکنولوژیکی و اقتصادی، این نقاط عملکردی را غیر جذاب کرده است و نیاز به این است که راکتور همجوشی در مناطق با دمای پایین و دانسیته بالا کار کند. جایی که واکنش گرما هسته‌ای ذاتا ناپایدار حرارتی است. در این مناطق ناپایدار حرارتی، افزایش کوچکی در دما منجر به افزایش توان و در نتیجه افزایش گردش حرارتی می‌گردد. این گردش حرارتی به نقطه عملکردی غیر اقتصادی پایدار یعنی نقاطی در دمای بالاتر و دانسیته‌ی پایین‌تر می‌رسد، پلاسما می‌تواند قبل از رسیدن به این نقطه پایدار منجر به انحراف مرزهای دانسیته و فاکتور بتا شود. از سوی دیگر کاهش کوچکی در دما منجر به کاهش توان و خنک شدن سریع پلاسما می‌شود. حتی در طول خنک شدن به بی‌ثباتی‌هایی می‌توان رسید که باعث آسیب دیواره شود.
در حال حاضر، روش­های تجربی همجوشی به نقطه­ای رسیده است که در آن دستگاه­های آزمایشی قادر به تولید مقدار زیادی انرژی صرف گرم کردن پلاسما، و طرح بلند مدت برای توسعه انرژی همجوشی شده ­اند. گام بعدی در این طرح، ساخت و بهره برداری از راکتورهای تجربی گرماهسته­ای ((ITER می­باشد. دستگاه برنامه ریزی شده ITER از کشف توکامک پیشرفته­ی (^[۶۵](AT، از حالت عملیاتی مانند فشار بالای پلاسما، زمان محصورسازی طولانی و سطح پایینی از جریان القایی پلاسما که اجازه می­دهد به صورت پایدار عمل کند، مشخص می­ شود. این حالت­های پیشرفته به شدت وابسته به فعالیت کنترل برای توسعه و پایداری پلاسما با کارایی بالا همراه با چگالی مناسب، دما و زمان محصورسازی پلاسما برای پایداری واکنش­های همجوشی در مدت زمان طولانی می­باشد. کنترل پلاسما جهت جلوگیری از این ناپایداری­ها، نه تنها برای نگهداری پلاسما در مدت زمان طولانی تحت شرایط مناسب سوخت موثر است بلکه برای جلوگیری از تخریب پلاسما نیز ضروری خواهد بود. مسئله کنترل در توکامک را می­توان به سه بخش مجزا از هم تقسیم بندی کرد.
کنترل مغناطیسی
کنترل مغناطیسی به کنترل توسط تغییر در میدان‌های مغناطیسی و الکتریکی گفته می‌شود که با تغییر موقعیت، شکل و جریان پلاسما باعث از بین رفتن ناپایداری و ایجاد پایداری می‌شود. این کار توسط کویل­های پولوئیدی توزیع شده اطراف محفظه­ای که حاوی پلاسماست، انجام می­پذیرد. ولتاژی به این کویل ها اعمال می‌شود، که با راه اندازی جریان، موجب بوجود آوردن میدان مغناطیسی می‌شود. میدان‌های مغناطیسی توسط کنترل بازخورد^[۶۶] پیشنهادی تنظیم می‌شود و جریان پلاسمای القایی، شکل پلاسما را تغییر داده و موجب پایداری در پلاسمای ناپایدار می‌شود کنترل بازخورد در واقع اندازه ­گیری متغیرهای خروجی و استفاده از این متغیرهای اندازه ­گیری شده برای برای اصلاح متغیرهای ورودی سیستم می‌باشد. برای مثال، در یک سیستم سرمایشی، یک سنسور که در واقع یک دماسنج است، دمای اتاق را اندازه می‌گیرد تا سیستم از دما مطلع شود و از کاهش و افزایش بیش از حد دما جلوگیری کند. با بهره گرفتن از سیستم دارای بازخورد می­توان بسیاری از فرآیندهای صنعتی را به طور خودکار کنترل کرد [۱, ۶۰].
کنترل جنبشی
کنترل جنبشی پلاسما به کنترل میزان تغذیه­ی ذرات و حرارت برای تغییر در چگالی پلاسما، دما و فشار و چگالی جریان مربوط می‌شود [۴۱].
کنترل جنبشی یکی از مهم­ترین مسائل در میان راکتورهای تحقیقات همجوشی به شمار می­رود. این نوع از کنترل به تولید انرژی همجوشی مانند کنترل سوخت، کاهش انتقال ذرات، بهبود زمان محصورسازی، اجتناب از ناپایداری MHD و پارامتر  بالاتر و همچنین مدهایی با زمان محصورسازی بالاتر مرتبط می‌شود. محققان به دنبال ساخت کنترل کننده­ جنبشی پایداری هستند که قادر به پایدارسازی پروفایل­های تعادلی ناپایدار پلاسما باشد و عملکرد پروفایل­های پایدار را افزایش دهد. در این روش کنترل، از مجموعه معادلات دیفرانسیل ذرات غیر خطی(PDE’s)^[67] استفاده می‌شود که توصیف کننده­ پروفایل­های دینامیکی انرژی و چگالی در پلاسمای غیر سوختنی^[۶۸] می‌باشد. این مدل PDE غیرخطی، معادلات دیفرانسیل یک بعدی برای متغیرهای جنبشی مانند چگالی و انرژی به شکل مدل استوانه­ای توسط فریستون^[۶۹] و کیسل^[۷۰] مورد استفاده قرار گرفتند [۶۱].
محاسبات عددی نشان می­ دهند که قانون کنترل بازخورد با بهره گرفتن از روش پسگام غیرخطی^[۷۱] می‌تواند برای کنترل پروفایل­های جنبشی موفق آمیز باشد.
کنترل مگنتو هیدرودینامیکی(MHD)^[72]
برسی­های اخیر از بلانکت فلز مایع در توکامک­ها یک بخش کنترل جدیدی را به وجود آورده است که کنترل MHD نام دارد. از میدان‌های مغناطیسی برای محصورسازی ذرات یونیزه شده و ایجاد یک فشار مغناطیسی خارجی که توازن فشار داخلی جنبشی از یک پلاسما است (منظور پارامتر  ) استفاده می‌شود. اختلال ناچیز در میدان‌های مغناطیسی موجب متورم شدن پلاسما می‌شود و اگر از آن جلوگیری نشود، به طور نمایی با زمان رشد می‌یابد و این موجب ناپایداری در پلاسما می‌شود [۶۲].
در روش­های مگنتو هیدرودینامیکی، پلاسما به صورت یک سیال، گاز داغی که در آن فشار متناسب با تولید چگالی و دمای مطلق و معادلات حرکت شاره­ها با معادلات ماکسول جفت می­شوند. نظریه­ MHD، دینامیک شاره‌های رسانای الکتریکی همانند پلاسما و فلزات مایع را مورد مطالعه قرار می‌دهد و یک نظریه‌ای شاره‌ای است که بر حسب پارامترهای ماکروسکوپی نظیر چگالی، فشار، دما، میدان سرعت شاره، و میدان مغناطیسی آن بیان می‌شود [۶۳]. در طول سال‌ها روش‌های فیزیکی و تکنولوژیکی مختلفی برای کنترل شرایط سوختن مورد مطالعه قرار گرفت.
روش های استفاده از کنترل جنبشی
از بین روش‌های کنترلی بیان شده روش کنترل جنبشی را مورد برسی قرار می‌دهیم که در آن موارد زیر در نظر گرفته شده:
مدولاسیون توان کمکی
مدولاسیون سرعت سوخت­گیری
کنترل تزریق ناخالصی
۱-کنترل بر مبنای مدولاسیون توان کمکی: نیاز به کار در نقاط زیر احتراقی دارد که توان کمکی در آن‌ ها صفر نیست [۶۴].
وقتی گرمای پلاسما به علت انحراف مثبتی در دمای اولیه افزایش می‌یابد، توان کمکی توسط کنترلر کاهش می‌یابد. از آنجا که بیشینه کاهش، قطع کامل توان کمکی است، بازه‌ی محدودی برای گردش حرارتی وجود دارد که در آن سیستم کنترل موثر است. کنترل در انحراف منفی دمای اولیه کمتر مورد نیاز است و تنها به قابلیت گرمایشی کافی در دسترس بستگی دارد.
۲-کنترلر بر مبنای مدولاسیون سرعت سوخت دهی: این روش اجازه کار در نقاط اشتعال را می‌دهد، که در آن‌ ها توان کمکی صفر است. با این‌حال، اگرچه آن‌ ها می‌توانند به خوبی با انحراف‌ها در شرایط اولیه‌‌ی منجر به گردش حرارتی برخورد کنند، برای انحراف در شرایط اولیه‌ی منجر به سرد شدن پلاسما نمی‌تواند خیلی موثر باشد [۴۱, ۶۵].
۳-کنترل تزریق ناخالصی: برای افزایش افت‌های تابشی در پلاسما موثر است و در این مسیر از گردش حرارتی جلوگیری می‌کند. برای انحراف‌های مثبت بزرگ در دمای اولیه، این روش نیاز به تزریق مقدار زیادی ناخالصی دارد. بنابر این پس از کنترل گردش حرارتی، مقدار توان کمکی اضافی (با کاهش Q متعاقب آن) به‌منظور جبران افت‌های تابشی ناشی از ناخالصی باید تامین شود تا اینکه ناخالصی‌ها بطور کامل از راکتور خارج شوند [۶۶].
برای کنترل راکتورهای هم‌جوشی می‌توان از یک مدل صفر بعدی استفاده کرد و نقطه مشترک راکتورهای موجود، تقریب زدن مدل غیر خطی راکتور هم‌جوشی توسط یک مدل خطی شده می‌باشد. در روش کنترل غیرخطی از دو محرک و یا حتی سه محرک­های ذکر شده بالا استفاده می‌شود. روش کنترل غیرخطی با بهره گرفتن از روش پسگام غیرخطی و یا با بهره گرفتن از تئوری لیاپوناف^[۷۳] تعیین می‌شود. کنترل کننده­ لیاپوناف مسیری را فراهم می­ کند که سیستم از دامنه­ اولیه­ خود خارج نشود. سیستم کنترل غیر خطی سیستمی است که با متغییر زمان سروکار دارد. این سیستم­ها از اصل انطباق (خطی بودن و همگن بودن) پیروی نمی­کنند، که به ازای تغییر در ورودی‌های مختلف چند نقطه­ی تعادلی جدا از هم دارند. اما در روش کنترل خطی به ندرت از تمام محرک­ها استفاده می‌شود و معمولا آن را به صورت کنترل تک ورودی^[۷۴] می­شناسند. در این سیستم­ها، جواب همگن متناظر با پاسخ گذرای سیستم به ریشه ­های معادله­ مشخصه بستگی دارد. اساسا طراحی سیستم­های کنترل خطی را می­توان به عنوان مسئله­ مرتب کردن مکان قطب­ها و صفرهای تابع، در نظر گرفت؛ به طوری که سیستم مطابق مشخصات معین عمل کند.
برای گسترش عملکرد ما به‌دنبال یک روش سینماتیک برای ساخت کنترلرهای سوختن هستیم که قادر به پایدار کردن سیستم در برابر شرایط اولیه بزرگ باشد که می‌تواند مثل سرکوب گردش حرارتی، برای جلوگیری از سرد شدن عمل کند. و می‌تواند در نقاط احتراق یا زیر احتراق بطور واضح کار کند که توانایی‌اش را در برابر عدم قطعیت‌ها در پارامترهای مدل مانند، زمان حبس گونه‌ها نشان می‌دهد و می‌تواند سیستم را از یک نقطه عملکردی به نقطه دیگر تغییر دهد و نیز می‌تواند توان همجوشی را در طی عملکرد راکتور تغییر دهد. چنین کنترل‌هایی باید بر مبنای یک مدل غیر خطی کامل پایه‌گذاری شوند و باید از همه حالت‌های بالقوه مانند توان کمکی، سرعت سوخت‌دهی مجدد و تزریق ناخالصی بصورت همزمان استفاده کند. برای استفاده از مدل صفر بعدی در راکتور همجوشی معادلات موازنه انرژی و ذره بکار گرفته می‌شود. مدل دیگری نیز وجود دارد که معادله جدیدی را معرفی می‌کند که به ناخالصی‌ها اجازه حضور در راکتور را می‌دهد.
موازنه ذرات باردار آلفا توسط معادله (۳-۱) داده می‌شود.
(۳-۱)
جاییکه n_α چگالی ذرات باردار و چگالی سوخت دوتریوم و هلیوم ۳ می‌باشد و زمان حبس برای ذرات آلفا است. این مدل تقریبی نشان می‌دهد که سرعت ذرات باردار با تولید۳/۱۸ انرژی، بلافاصله کم می‌شود و انرژی خود را در سطح شار، جایی که تولید شده‌اند برجا می‌گذارند و باعث گرم شدن بیشتر پلاسما می‌شوند. و این یک تقریب معمول در راکتورهایی با سایز توکامک می‌باشد. موازنه ذرات سوخت D-³He توسط معادله (۳-۲) داده می‌شود:
(۳-۲)