۳- ۲۷
شرط تقارن نیز برقرار است زیرا:
۳- ۲۸
۳- ۲۹
۳- ۳۰
۳- ۳۱
۳- ۳۲
قانون تقاضا نیز در اینجا مصداق دارد.
۳- ۳۳
۳- ۳۴
۳- ۳۵
هر چند از سطور فوق می‌توان دریافت که سیستم مخارج خطی از جهت تئوریک دارای مزیت‌های قابل‌ملاحظه‌ای است اما جذابیت این روش در کار تجربی استون را می‌توان از جهت دیگر که همان امکان‌پذیری است نیز دانست.
رابطه قیمت و در آمد به طور همبسته‌ای با میزان تقاضا ارتباط دارد. شکل لگاریتمی تابع به صورت زیر می‌باشد:
۳- ۳۶
چون در معادله فوق توان متغیرها بیانگر کشش‌های قیمتی و درآمدی هستند پس می‌توان نوشت:
۳- ۳۷
اگر این مدل برای n کالا به طور همزمان حل شود آنگاه می‌بایست پارامتر را تخمین زد و سپس با بهره گرفتن از خواص تابع تقاضا و قیود حاکم بر آن پارامترهای دستگاه فوق را حتی تا کمتر از نصف می‌توان تقلیل داد. به عنوان مثال برای یک سیستم ۱۰ کالایی با معادله اعمال این قیود می‌تواند تعداد پارامترها را از ۱۱۰ به ۵۴ برساند یعنی درجه آزادی ما را ۵۶ واحد افزایش دهد.
۳-۲-۴ روش تخمین سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل
برای برآورد و تخمین سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل به داده‌های مربوط به مخارج خانوار در دهک‌های مختلف درآمدی برای سه گروه اصلی و همچنین زیرگروه‌های آن و نیز شاخص بهای مصرفی گروه‌های کالایی فوق نیاز می‌باشد. این داده‌ها هر ساله بر اساس طبقه‌بندی خاص SNA[61] از طریق نمونه‌گیری گردآوری می‌شود. اطلاعات مربوط به شاخص قیمت‌ها توسط بانک مرکزی جمهوری اسلامی ایران در ترازنامه بانک مرکزی (همچنین در مجله بانک مرکزی و در سالنامه‌های آماری سال‌های مختلف) منتشر می‌شود. مخارج خانوار و هزینه زیرگروه‌های مختلف آن نیز هر ساله توسط مرکز آمار ایران با عنوان « نتایج تفصیلی آمارگیری از هزینه و درآمد خانوارهای شهری» انتشار می‌یابد.
داده‌های حاصل شده از دو جنبه‌ی زمان و واحدهای مقطعی برخوردارند. به طور مثال هر مشاهده مربوط به مخارج برق ، از یک سو به یک خانوار در حکم یک واحد مصرفی تعلق داشته و از سوی دیگر مربوط به یکی از سال‌های ۱۳۸۶ تا ۱۳۹۱ است. با قرار گرفتن مجموعه مشاهدات در کنار هم، داده‌ها بر اساس مشاهدات هر خانوار به عنوان واحد مقطعی و یکی از سال‌های مربوط به دوره زمانی شش ساله فراهم شده است و هر مشاهده بر مخارج خانوار i ام برای کالایی خاص دلالت دارد. تعداد مشاهدات طی سال‌ها و برای طبقات مختلف مساوی نیست، بنابراین داده‌ها، داده‌های ادغام‌شده نابرابر خواهند بود . در چنین شرایطی انتخاب روش مناسب تخمین برای برآورد مدل‌های ادغام‌شده به فرض‌های محقق در مورد شکل‌گیری بردار ضرایب میان واحدهای مقطعی طی زمان بستگی دارد. چنانچه فرض شود که ضرایب میان واحدهای مقطعی متفاوت باشند، از یک رابطه تصادفی پیروی کنند و اثر خود را در عرض از مبدأ منعکس نمایند و نیز در شرایطی که ضرایب هم در واحدهای مقطعی و هم طی زمان متغیر باشند، از مدل اجزای خطا بهره‌گیری می‌شود (خسروی نژاد، ۱۳۸۸) با توجه به اینکه در تحقیق حاضر از داده‌های گروه‌بندی شده (که خانوارها بر اساس تشابه رفتار از جنبه اختصاص مخارج به انرژی و نتایج آزمون واریانس همسانی گروه‌بندی شده‌اند) بهره‌گیری شده است، می‌توان فرض کرد که جملات اختلال مربوط به مشاهدات در درون هر گروه، الگوی یکسان و مشابهی دارند. دلایل مورد اشاره بر پذیرش فرض یکسان بودن ضرایب برای خانوارهای درون هر گروه دلالت دارد. علاوه بر این با تحلیل خوشه‌ای و توجه به اینکه ساختار ماتریس (بالتاجی، ۲۰۰۵) و ساختار پارامترها و ضرایب واحدهای مقطعی برای خانوارهای درون هر طبقه یکسان است و بنابراین ادغام داده‌های مربوط به طبقات خانوارها در طی سال‌های مختلف مجاز و روش تخمین، روش رگرسیون‌های به ظاهر نامرتبط (SUR[62]) است.
۳-۲-۴-۱ انتخاب سطح تجمیع کالاها، شکل سیستم معادلات تقاضا و شاخص قیمتی
محققان اقتصادی بسیاری برای بررسی و تحلیل رفتار مصرفی خانوارها از الگوی تقاضای تقریباً ایده‌آل بهره‌گیری کرده‌اند که در شکل اصلی خود غیرخطی است و برای خطی کردن آن از شاخص‌های قیمت بهره‌گیری می‌شود(انصاری،۱۳۹۲). بیوزی اشاره دارد که طی سال‌های ۱۹۸۰ تا ۱۹۹۱ ، در ۲۳۷ مطالعه از سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل بهره‌گیری شده است (بیوزی،۱۹۹۴).
عکس مرتبط با اقتصاد
سطح تجمیع داده‌ها بر مبنای واحد آماری خانوار انتخاب شده است که مطالعه رفتار مصرفی خانوارها را در سطوح مختلف هزینه‌ای و روی کوچک‌ترین واحد مصرفی یعنی خانوار شدنی و برآورد معادلات را با بهره‌گیری از تعداد داده‌های بیشتر امکان‌پذیر می‌سازد. نگرش سیستمی نسبت به رفتار مصرف‌کنندگان مستلزم توجه به تمامی اقلام مخارج در سبد هزینه خانوارهاست و از این رو در این تحقیق سبد مصرفی خانوار به سه زیرگروه برق ، مسکن و سایر کالاها و خدمات تقسیم و آمار بودجه خانوار بر اساس طبقه‌بندی هزینه‌ای که مخارج مصرفی خانوارهای مختلف را در سطوح متفاوت نشان می‌دهد، به کار گرفته شده است. مهم‌ترین دلیل برای تقسیم‌بندی گروه‌های کالایی سه گانه ، علاوه بر هدف مطالعه که تحلیل رفاه خانوارها در زمینه افزایش قیمت برق است، سهم عمده گروه کالایی مسکن در سبد هزینه خانوارهای شهری است.
همچنین ویژگی‌های انعطاف‌پذیری تابع مخارج و عدم وابستگی به فرض خطی بودن منحنی انگل سبب شده است تا سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل در میان سیستم‌های تقاضای موجود قابلیت نمایش صحیح رفتار مصرف‌کنندگان در سطح پایینی از کلی کردن را دارا باشد. سیستم‌های تقاضای دیگری چون سیستم مخارج خطی به دلیل هموتتیک[۶۳] بودن تابع مطلوبیت استخراج‌شده از آن (تابع مطلوبیت استون گری یا کلاین- روبین) فاقد این ویژگی هستند. افزون بر این سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل دارای مزایایی از قبیل امکان اعمال قیود نظری همگنی و تقارن و آزمون آن ها، تابع منعطف مخارج تعمیم‌یافته لگاریتمی مستقل از قیمت و قابلیت کلی کردن سطح روی مصرف‌کنندگان ، بدون نیاز به تابع خطی انگل است (انصاری ۱۳۹۲). علاوه بر موارد مذکور وجود مزایایی دیگری همچون امکان بررسی کشش قیمتی مثبت و همچنین عدم الزام در مثبت بودن کشش درآمدی باعث گردیده است که سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل به عنوان کامل‌ترین مدل تقاضا محسوب گردد (داوودی،۱۳۸۵). بنابراین در این مطالعه به دلیل انتخاب سطح کلی کردن بر مبنای واحدهای مصرفی خانوارها و گروه‌های کالایی خوراکی، مسکن، برق و سایر کالاها به همراه مجموعه برتری‌های عنوان‌شده برای سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل افزوده‌شده به متغیرهای جمعیتی، سیستم مذکور برای تبیین رفتار خانوارها در زمینه تعیین سهم مخارج برق در سبد هزینه
خانوار برگزیده شده است.
سیستم تقاضای تقریباً ایده‌آل در سال ۱۹۸۰ برای اولین بار توسط «دیتون و میلبور»[۶۴]مطرح گردید. دیتون و میلبور تابع مخارج را به شکل زیر تعریف کرده‌اند:
۳- ۳۸
در اینجا a و b تابعی از قیمت‌ها بوده و مطلوبیت (u ) برای افراد فقیر، صفر و برای افراد ثروتمند، یک است. اگر u =0 باشد، تفسیر Ln a(P) هزینه حداقل معاش است. فرم های تبعی a و b برای انعطاف‌پذیری به صورت زیر تعریف‌شده‌اند:
۳- ۳۹
۳- ۴۰
حال اگر دو رابطه بالا در رابطه ۳-۳۸ قرار داده شوند :
۳- ۴۱
برای اینکه تابع مخارج، نسبت به قیمت‌ها همگن خطی باشد باید قیود زیر صدق کند:
۳- ۴۲
با توجه به « قضیه لم شپارد» که ، اگر دو طرف معادله در ضرب شود، سهم مخارج هر کالا از کل هزینه خانوار () بدست می‌آید:
۳- ۴۳
پس سهم مخارج کالای i ام برابر با مشتق جزئی لگاریتم مخارج، نسبت به لگاریتم قیمت کالای i ام است. حال با در نظر گرفتن این برابری، اگر از رابطه ( ۴) نسبت مشتق جزئی گرفته شود، حاصل آن برابر خواهد بود با:
۳- ۴۴
که در آن است. برای مصرف‌کننده، در حداکثر مطلوبیت، مخارج کل( X) با برابر است. بنابراین، اگر از رابطه (۴) ، u را بر حسب X و P به دست آورده و حاصل را در رابطه (۵) جایگزین نماییم، سهم هر کالا یا گروه کالایی از کل بودجه به صورت تابعی از X و P به دست خواهد آمد، یعنی:
۳- ۴۵
می‌توان مقدار P را – که به صورت یک شاخص مناسب برای تعدیل قیمت انتخاب شده است – برای هر دوره، محاسبه کرده و به عنوان یک مقدار مشخص در مدل وارد کرد. به رابطه بالا، فرم تقریب خطی سیستم معادلات تقاضای تقریباً ایده‌آل می‌گویند. در عبارت بالا، می‌توان P را به صورت دیگری نیز محاسبه کرد. در این حالت P نشان‌دهنده‌ی شاخص قیمتی است که به صورت زیر محاسبه می‌شود:
۳- ۴۶
نکته مهم در این دستگاه آن است که با توجه به شاخص قیمت P ، معادله فوق بر حسب ضرایب غیرخطی بوده و بنابراین برآورد ضرایب، مستلزم استفاده از روش‌های غیرخطی است. از این رو می‌توان با بهره گرفتن از شاخص استون- به عنوان جانشینی برای شاخص P- مدل را با بهره گرفتن از روش‌های خطی برآورد نمود.
شاخص «استون» به صورت تعریف می‌شود.
۳-۲-۴-۲ کشش‌های قیمتی و درآمدی مدل AIDS
کشش‌های قیمتی خودی و درآمدی مدل AIDS به صورت زیر محاسبه می‌شود[۶۵]:
کشش قیمتی خودی مدل AIDS:
۳- ۴۷
کشش درآمدی مدل AIDS:
۳- ۴۸
۳-۲-۵ اندازه‌گیری تغییر رفاه
با تغییر شرایط اقتصادی، مانند تغییر قیمت‌ها؛ میزان مطلوبیت به دست آمده مصرف‌کنندگان، ممکن است افزایش یا کاهش یابد. برای چگونگی و شدت تأثیرپذیری مطلوبیت مصرف‌کننده از تغییر شرایط اقتصادی، از معیارهایی چون مازاد مصرف‌کننده (CS) ، تغییر جبرانی (CV) و تغییر معادل (EV) استفاده می‌شود. به طور کلی وقتی ترجیحات مصرف‌کننده با یک تابع مطلوبیت شبه خطی نشان داده می‌شود، مازاد مصرف‌کننده معیار دقیقی از تغییر رفاه است. بنابراین زمانی که مطلوبیت شبه خطی است، تغییر جبرانی با تغییر معادل برابر بوده که هر دو آن ها با انتگرال مازاد مصرف‌کننده برابر خواهند بود. اما برای اشکال کلی تر تابع مطلوبیت، تغییر جبرانی با تغییر معادل تفاوت دارد و مازاد مصرف‌کننده معیار دقیقی از رفاه نخواهد بود.[۶۶]
۳-۲-۵-۱ استخراج تابع تغییرات جبرانی برای سیستم تقاضای ایده‌آل
بر اساس تابع درآمد معادل داریم:
۳- ۴۹
که در آن بردار قیمت مرجع است که در محاسبه تابع تغییرات جبرانی، همان ثانویه می‌باشد.
تابع مخارج سیستم تقاضای ایده‌آل- که در قسمت‌های پیشین معرفی گردید- برای بردار قیمت و سطح مطلوبیت اولیه به صورت زیر خواهد بود:
۳- ۵۰
با توجه به اینکه مصرف‌کننده، مطلوبیت خویش را با توجه به قید درآمد )مخارج( حداکثر می کند، لذا برای مصرف‌کننده عقلایی می‌توان بیان کرد که کل مخارج خود را خرج نموده و بر روی خط بودجه قرار دارد، پس می‌توان نوشت:
۳- ۵۱
و با لگاریتم گرفتن از طرفین رابطه ۳-۵۱، رابطه ۳-۵۲ بدست می‌آید:
۳- ۵۲
سمت چپ رابطه‌های ۳-۵۰ و ۳-۵۲ باهم برابر هستند، پس با قرار دادن مقدار از معادله ۳-۵۲ در معادله۳-۵۰، داریم:
۳- ۵۳
۳- ۵۴
۳- ۵۵
از آنجا که تابع درآمد معادل بر حسب تابع مطلوبیت غیرمستقیم در بردار قیمت‌های مرجع تعریف می‌شود، بنابراین رابطه ۳-۵۵ بر حسب قیمت‌های مرجع و سطح مطلوبیت اولیه به صورت زیر خواهد بود:
۳- ۵۶
با حل رابطه بالا بر حسب معادله شماره ۳-۵۷ به دست می‌آید:
