را مطرح نمود[۱] . به دنبال آن، فوریه [۳] در سال ۱۸۱۱، برای حل مسائل حرارت، آبل[۴] در سال ۱۸۲۳، در حل مسائل مکانیکی ، پواسون [۵] در سال ۱۸۲۶، در تئوری مغناطیس و لیوویل [۶] در سال ۱۸۲۳، در حل برخی معادلات دیفرانسیل، از معادلات انتگرال استفاده کردند . نیومن[۷] در سال ۱۸۷۰۱، مساله دیریکله (تعیین تابع f روی سطح S که درمعادله ی لاپلاس صدق کند) ، را تبدیل به یک معادله انتگرال نمود و نیز پوانکاره [۸] در سال ۱۸۹۵ ، در بهبود حل معادلات انتگرال بسیار تاثیر گذار بود وی معادله انتگرال
را که متناظر با معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی
که منسوب به معادله ی حرکت موج می باشد ، مورد بررسی قرار داد ولترا[۹] در سال ۱۸۹۶، برای اولین بار نظریه ی عمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود[۱].
در سال ۱۹۰۰ ، ریاضی دان سوئدی به نام فردهلم [۱۰] یک دسته بندی کلی از معادلات انتگرال خطی به فرم
(۱٫ ۱)
را ارائه نمود که شامل دسته بندی خاص از معادلات ولترا نیز بودند. در ادامه هیلبرت[۱۱] به تحقیق در مورد معاملات انتگرال پرداخت و برای حل این معادلات، فضای هیلبرت را تعریف نمود[۱].
یکی از کارهای مهم ایشان ، فرموله کردن مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی با شرایط مرزی و اولیه به صورت یک معادله انتگرال بود و به این ترتیب حرکتی نو در حل این گونه معادلات به وجود آمد. به علاوه اصطلاح نوع اول و دوم که امروزه در معادلات انتگرال به کار می رود، اولین بار توسط هیلبرت پیشنهاد داده شد.
بسیاری از مسائل مهم ریاضیات و فیزیک به معادلات انتگرال منتهی می شوند سیستم های دینامیکی هم چون معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال ، کنترل بهینه و غیره در تمامی زمینه های علوم مهندسی، مدل سازی و پیش بینی مانند تئوری های آنالیز تابعی و فرایندهای تصادفی به کار می روند. نظر به اینکه حل تحلیلی رده هایی از معادلات انتگرال، به علت پیچیدگی و صرف وقت و هزینه، مقدور نیست یا حل آنها به آسانی امکان پذیر نیست لذا از رویکردهای عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی این رده از معادلات استفاده می کنیم. بنابراین، به کارگیری روش های عددی در حل معاملات انتگرال اهمیت بسزایی دارند که یکی از روش های عددی متداول و موثر روش تقریب بلوکی است.
تعریف ۱٫۱٫۱ (معادلات انتگرال) به معادلاتی گفته می شود که در ان تابع مجهول، زیر یک یا چند علامت انتگرال ظاهر می شود. فرم کلی یک معادله انتگرال خطی به صورت زیر است.
(۱ .۲)
که در آن ، fتابع مجهول و k، g وh توابعی معلوم هستند. تابع هسته ی معادله ی انتگرال نامیده می شود. عددی حقیقی یا مختلط و a عددی حقیقی است. در معادله ی فوق ، حد بالایی انتگرال ممکن است عدد ثابت یا متغیر s باشد.[۲]
۱ .۲ دسته بندی معادلات انتگرال
۱٫۲٫۱ معادلات انتگرال فردهلم
به معادلات انتگرالی که در آنها دامنه ی انتگرال گیری ثابت باشد ، معادلات انتگرال فردهلم گفته می شود این معادلات به سه دسته تقسیم می شوند.
-اگر در معادله ی ۱ .۲٫ ۰=h(s) باشد، معادله ی انتگرالی فردهلم نوع اول را خواهیم داشت.
-اگر در معادله ی ۱٫ ۲ ، ۱=h(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم را خواهیم داشت.
-اگر در معادله ی ۱ .۲ ،۱=h(s) و ۰=g(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم همگن را خواهیم داشت.
۱ .۲٫ ۲ معادلات انتگرال ولترا
اگر درمعادله ی ۱ .۲ کران بالای انتگرال متغیر s باشد، آن را معادله انتگرال ولترا گوییم ، دسته بندی معادلات ولترا مانند دسته بندی معادلات فردهلم می باشد [۲].
۱ .۳ عملگرها
تعریف۱٫ ۳٫ ۱ (عملگر) دو فضای برداری vوw را در نظر بگیرید عملگر[۱۲]T ، قاعده ای است که به هر عضو V یک عضو یکتا درW را اختصاص می دهد.
دامنه ی T، زیر مجموعه ای از V است که T برروی آن تعریف می شود و بردT، زیر مجموعه ای از w است که به وسیله ی T تولید می شود.
تعریف ۱ .۳٫ ۲ عملگر را یک عملگر تصویر گوییم، اگر برای هر
۱ .۴ معادلات انتگرال خطی
یک معادله انتگرال، خطی نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت عملگری
نوشت ، که در آن Lیک عملگر انتگرالی است که در معیار کلی عملگر خطی به صورت
صدق می کند.
۱ .۴ .۱ معادلات انتگرال خطی منفرد
معادلات نوع اول یا نوع دوم زیر
را که در آن حد پایین ، حد بالا یا هر دو حدود انتگرال گیری نامتناهی باشند، معادلات انتگرال منفرد[۱۳] می نامند. به علاوه اگر هسته ی معادلات انتگرال در یک نقطه یا در نقاط بیشتری از دامنه ی انتگرال گیری نامتناهی باشد نیز این گونه معادلات را معادلات انتگرال منفرد می نامند. به عنوان مثال
نمونه هایی از معادلات انتگرال منفرد هستند.
۱ .۵ معادلات انتگرال غیر خطی
این دسته از معادلات انتگرال به دو بخش به صورت زیر تقسیم می گردند.
۱ .۵ .۱ معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی
این نوع معادلات انتگرالی که به معادلات[۱۴] معروفند، در دینامیک سیالات، الکترو مغناطیس و در بازنویسی مسائل مقدار مرزی غیر خطی به معادلات انتگرال، ظاهر می شوند معادلات انتگرالی همرشتاین چند بعدی در تبدیل معادلات دیفرانسیل بیضوی به معادلات انتگرالی ظاهر می شوند.
معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی از نوع اول و دوم و سوم به ترتیب به شرح ذیل می باشند.
۱ .۵ .۲ معادلات انتگرال ولترای غیرخطی
معادلات انتگرال ولترای غیرخطی از نوع اول و دوم به صورت زیر اند:
ملاحظه ۱ .۵ .۱ درحالتی که هسته به صورت باشد ، معادله ی انتگرال غیرخطی تبدیل به معادله ی انتگرال خطی می شود[۲]
۱٫ ۶ معادلات انتگرو- دیفرانسیل
این گونه معادلات ابتدا در اوایل سال ۱۹۰۰ توسط ولترا معرفی شدند. ولترا درحال مطالعه ی پدیده ی رشد جمعیت و بخصوص تاثیر وراثت بود که در تحقیق خود با این گونه معادلات مواجه شد و نام مذکور را برای آنها انتخاب کرد دانشمندان و محققین در پژوهش خود در کاربرد علوم در مواردی نظیر انتقال گرما، پدیده ی انتشار، پخش نوترون و غیره به حل این گونه معادلات نیاز پیدا کردند. در واقع، بسیاری از فرایندهای فیزیکی را می توان با بهره گرفتن از معادلات انتگرو- دیفرانسیل[۱۵]، مدل بندی نمود این معادلات در مسائل دیریکله ، پتانسیل ، تعادل تابشی وارتباط کشسان ظاهر می شوند . اطلاعات جامعی از کاربردهای معادلات انتگرال – دیفرانسیل را می توان به مراجع [۳]، [۵]و[۷] یافت.
دراین گونه معادلات تابع مجهول در دو طرف معادله ظاهر می شود در یک طرف زیر علامت انتگرال و در طرف دیگر به عنوان یک مشتق معمولی نمایان می شود که این معادلات نیز به دو دسته ی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم و ولترا تقسیم می شوند، شکل کلی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم به صورت زیر می باشد.
که در آن D عملگر خطی مشتق به صورت زیر می باشد.
و توابع پیوسته روی بازده ی [a,b] می باشند.هرگاه به جای مقادیر ثابت b، متغیر x را در حد بالای انتگرال گیری قرار دهیم، به معادله ی انتگرال- دیفرانسیل ولترا تبدیل می شود.
۱ .۷ گسسته سازی انتگرال با رویه کوادراتور
اساس هر روش عددی برای حل معادلات انتگرال، قواعد انتگرالگیری عددی است. فرض کنیم یک عملگر انتگرالی باشد که با داده شود. قاعده کوادراتور، نامی عمومی است که به هر روش عددی که انتگرال فرضی فوق را تقریب می زند، داده می شود، کوادراتور را به صورت زیر تعریف می نماییم.
که در آن گروه های تقریب، وزن های کوادراتور می باشند. علاوه بر این فرض کنیم یک عملگر تقریب k بر پایه باشد. داریم:[۳]
فصل ۲
تقریب و درونیابی
پایه­ های انتخاب شده در این پایان نامه پایه های لاگرانژ هستند، که از نوع چند جمله ای های جبری می باشند . دلیل عمده ی استفاده از چند جمله ای جبری، تقریب یکنواخت توابع پیوسته با این توابع می باشد در زیر ، قضیه ی وایراشتراس این خاصیت را نشان می دهد.
قضیه ۲ .۰ .۱ (قضیه ی تقریب وایرشتراس)[۱۶]
هرگاه f بر [a,b] تعریف شده و پیوسته باشد و مفرض باشد ، آن گاه چند جمله ای مانند P(x) وجود دارد که به طوری که
اثبات: مرجع [۳] را ببینید.
۲ .۱ مساله درونیایی
فرض کنیم V یک فضای نرم دار روی اعداد حقیقی یا مختلط باشد و یک زیر فضای n بعدی از V با پایه ی باشد. هم چنین فرض کنیم
Nتابع پیوسته ی خطی و عدد حقیقی یا مختلط باشند. هدف پیدا کردن به گونه ای است که شرایط درونیابی
برقرار باشد.
تعریف ۲ .۱ .۱ توابع ، روی مستقل خطی اند اگر و تنها اگر رابطه ی زیر برقرار باشد:
قضیه ۲ .۱ .۲ روابط زیر معادل اند:
-مساله درونیاب، جواب یکتا دارد.
-توابع ، روی مستقل خطی اند .
– تنها عنصر که در معادله ی صدق کند، عبارت است از .
– به ازای هر دنباله ی ، تنها یک وجود دارد به طوری که
اثبات: مرجع[۳] را ببینید .
حال مساله درونیاب را به صورتی دیگر بیان می کنیم.
تعریف ۳٫۱٫۲ فرض کنیم خانواده ای از توابع یک متغیر x با n+1 پارامتر باشد. مساله­ی درونیایی عبارتست از یافتن پارامترهای در تابع ، به طوری که برای زوج های داشته باشیم.
به علاوه باید شرط به ازای برقرار باشد به نقاط درونیاب می گوییم.
تعریف۲ .۱٫ ۴ اگر به صورت خطی به پارامترهای مجهول وابسته باشد مساله درونیاب خطی و در غیر اینصورت غیر خطی است. درصورتی که مساله درونیاب خطی باشد می توان نوشت:
که در آن مجموعه را مجموعه ی مولد فضای درونیاب می گوییم.
در تعریف فوق اگر توابع مستقل خطی باشند پایه ای برای فضای درونیاب معرفی می کنند.رده های مختلفی از درونیابی وجود دارد که وابسته به انتخاب پایه ها مشخص می شوند مانند درونیابی نمایی و درونیابی از نوع چند جمله ای ، که در آنها به ترتیب مجموعه درونیاب به صورت
. می باشد .
درونیابی با بهره گرفتن از چند جمله ای ها ، به دلیل ساختار ساده ای که دارند، به آسانی در مشتق گیری، انتگرال گیری و تعیین ریشه به کار گرفته می شوند. یکی از خصوصیات چند جمله ای ها این است که درصورت متمایز بودن نقاط درونیابی، همیشه یک جواب منحصر به فرد وجود دارد.
۲ .۱ .۱ درونیابی لاگرانژ[۱۷]
فرض کنیم f تابعی پیوسته روی بازه [a,b] باشد و
افرازی از بازه [a,b] باشد. فضای توابع پیوسته از بازه ی [a,b] به میدان اعداد حقیقی یا مختلط را V=C[a,b] و فضای چند جمله ای های پیوسته درجه ی n از بازه ی [a,b] به میدان اعداد حقیقی یا مختلط را تعریف می کنیم. شرایط درونیایی لاگرانژ درجه ی n از تابع f به صورت زیر داده می شود.