(11)
به این ترتیب:
(12)
اگر باشد در این صورت:
(13) Xij=aijXj
با جایگزینی رابطه (13) در رابطه (12) داریم‌:
(14)
بسط رابطه (14) به صورت زیر است:
X1-(a11X1+a12X2+…+a1nXn)=f1
X2-(a21X1+a22X2+…+a2nXn)=f2
.
.
.
Xi-(ai1X1+ai2X2+…+ainXn)=fi
.
.
.
Xn-(an1X1+an2X2+…+annXn)=fn
كه به شكل ماتریس به صورت زیر خواهیم داشت:

اكنون می‌توان فرم ماتریسی را به صورت زیر نوشت:
(15) X-AX= f
به این ترتیب:
(16) (I-A)X=f
و نهایتاً داریم:
(17) X=(I-A)-1f
كه شكل بسط‌یافته آن به صورت زیر است:‌
عناصر موجود در ماتریس (n×n) فوق همان معكوس ماتریس لئونتیف است.
اكنون با بهره گرفتن از ضریب ماتریس‌ها داریم: (شیرازی، حمید، 1378، ص 53)

به عنوان مثال در ماتریس (n×n) فوق عنصر C21 به این معنی است كه برای پاسخگویی به یک واحد تقاضای نهایی برای تولیدات بخش 1، بخش 2 چه میزان باید تولید كند. همان‌طور كه گفته شد ضرایب فنی ماتریس داده- ستانده ارتباط مستقیم تولیدی بخش‌ها را نشان می‌دهد اما معكوس ماتریس لئونتیف كل ارتباط تولید بخش‌ها (اعم از مستقیم و غیرمستقیم) را نشان می‌دهد كه با تفریق اثر مستقیم از كل اثر (عناصر معكوس ماتریس لئونتیف) اثر غیرمستقیم به دست می‌آید. (شیرازی، حمید، 1378، ص 53)
3-5 معرفی پیوندهای پسین و پیشین
اساس استراتژی توسعه نامتوازن سرمایه‌گذاری در بخش‌های كلیدی اقتصاد است كه موجبات رشد سایر بخش‌ها را فراهم می کند. جهت شناسایی بخش‌های كلیدی از تحلیل پیوندهای پسین و پیشین استفاده می‌شود. بر این اساس هر صنعتی كه به وجود می‌آید دارای ارتباط پسین و پیشین است به طوری‌كه ارتباطات پیشین به معنی كاربرد محصول بخش مورد نظر در سایر بخش‌ها و ارتباط پسین به معنی آثار تامین نهاده‌ از سایر بخش‌های اقتصاد است. حال پیوندهای پسین و پیشین به صورت زیر معرفی می‌شوند.
عکس مرتبط با اقتصاد
3-5-1 پیوندهای پسین و پیشین جزئی (مستقیم)
این دو نوع پیوند از ضرایب فنی داده- ستانده حاصل می‌شوند، از این رو پیوند پسین و پیشین جزئی (مستقیم) نامیده می‌شوند. روابط ریاضی شاخص‌های مذكور به صورت زیر می‌باشند:
3-5-1-1 پیوند پسین جزئی
این شاخص از ضرایب فنی داده- ستانده به دست می‌آید به طوری‌كه اگر جمع ستونی ضرایب فوق انجام شود، پیوند پسین جزئی بدست می‌آید. از این رو داریم:
(18)
به این معنی است كه جهت تولید یک واحد كالا در بخش j بخش‌های مختلف به طور مستقیم به چه میزان نهاده در اختیار این بخش قرار می‌دهند.
3-5-1-2 پیوند پیشین جزئی
شاخص پیوند پیشین جزئی از درایه‌های ماتریس ضرایب فنی به دست می‌آید. به این ترتیب كه اگر جمع سطری ضرایب فوق صورت گیرد، داریم:
(19)
كه به عنوان شاخص برای نشان دادن میزان كالای تولید شده در بخش i كه به طور مستقیم در اختیار سایر بخش‌های اقتصادی بعنوان کالای واسطهای قرار می‌گیرد، به كار می‌رود. (چنری و واتانابه، 1958).
3-5-2 پیوندهای پسین و پیشین كلی راسموسن
اولین بار به وسیله راسموسن مورد استفاده قرار گرفته است كه از معكوس ماتریس لئونتیف به دست می‌آید. این پیوندها ارتباطات مستقیم و غیرمستقیم تولیدی را نشان می‌دهند كه به این خاطر نام كلی به این گونه پیوندها اطلاق می‌شود که در ذیل ارائه می‌شود.
3-5-2-1 پیوند پسین كلی
با جمع ستونی ضرایب معكوس ماتریس لئونتیف پیوندهای پسین كلی به دست می‌آید كه داریم:
(20)
كه به این مفهوم است كه جهت پاسخگویی به یک واحد تقاضای نهایی بخش j سایر بخش‌های اقتصادی به چه میزان نهاده در اختیار بخش‌های اقتصاد اعم از این بخش، قرار می‌دهند. (راسموسن، 1958)
3-5-2-2 پیوند پیشین كلی
همچنین با جمع سطری ضرایب معكوس ماتریس لئونتیف پیوند پیشین كل بدست می‌آید كه داریم:
(21)
كه به این معنی است كه با افزایش 1 واحد تقاضای نهایی در همه بخش‌های اقتصادی، بخش i چه میزان محصول در اختیار این بخش‌ها قرار می‌دهد. (راسموسن، 1958، ص 140)
3-6 روش های محاسبه
3-6-1 تجزیه ماتریس لئونتیف1
به منظور شناسایی كمی اثر بخش انرژی بر اقتصاد و اثر سایر بخش‌های دیگر بر بخش انرژی از تجزیه ماتریس لئونتیف استفاده می‌شود.
اساس تجزیه ماتریس لئونتیف، خروج یک بخش اقتصادی از ماتریس اولیه و بررسی تأثیر آن در كل اقتصاد است.
3-6-2 روش استراسرت
اولین بار استراسرت[8] مبدع این روش بود كه روش خارج سازی فرضی[9] نام‌گذاری نمود. در این روش با خروج یک بخش، میزان تأثیرگذاری‌ آن بر محصول كل مورد توجه قرار می‌گیرد به طوری‌كه اگر اثر مشخص بر محصول كل داشته باشد بخش موردنظر اهمیت خاصی در اقتصاد داشته وگرنه اهمیت ناچیزی در ساختار اقتصادی دارد.
جهت محاسبه این شاخص، كافی است سطر و ستون بخش‌های موردنظر را (یک بخش) از جدول ضرایب فنی حذف كرده، سپس ماتریس لئو
نتیف جدید را معكوس كرده و آنگاه در بردار تقاضای نهایی جدید ضرب نموده و نهایتاً تولید جدید به دست می‌آید. چنانچه نسبت تولید جدید به تولید اولیه بزرگتر از واحد باشد نشان‌دهنده اهمیت زیاد این بخش در كل اقتصاد است. (پیروی، 1382)
بر این اساس چنانچه ماتریس اولیه بر اساس معکوس ماتریس لئونتیف باشد داریم:
(1)
حال چنانچه بخش موردنظر از جدول اولیه حذف شود و سپس با محاسبه معکوس ماتریس لئونتیف و ضرب آن در تقاضای نهایی، تولید جدید بدون حضور بخش مورد نظر بدست می‌آید. چنانچه رقم تولید جدید از تولید اولیه تفاضل‌گیری شود و اندازه کمی تولید منفی گردد نشان از اهمیت بخش حذف شده در اقتصاد دارد. بنابراین داریم:
(2)
همانطور که ملاحظه می‌شود k بیانگر بخش خارج شده از ماتریس اولیه است. روش استراسرت در شناسایی اهمیت بخش‌های اقتصادی جالب توجه به نظر می‌رسد اما این روش با مشكل اساسی مواجه است و آن اینكه قابلیت تمایز اثرات بخش‌ها را ندارد از این رو سلا تجزیه ماتریس را راه‌حل كار می‌داند و معتقد است كه با این روش می‌توان اثرات بخش‌ها را به طور مجزا محاسبه نمود كه در ذیل این روش تشریح می‌شود.
3-6-3 روش سلا
سلا برخلاف استراسرت، بخش‌های اقتصادی را به دو گروه بخش‌ خارج شده (بخش 1) و سایر بخش‌های باقیمانده (بخش 2) تقسیم نموده سپس اثر این خروج را بر ستانده كل و كل پیوند مورد بررسی قرار می‌دهد. بر این اساس ابتدا بخش‌های مذكور را با بهره گرفتن از رابطه اساسی موازنه لئونتیف (X=AX+F) به صورت زیر به نمایش درمی‌آورد:
(1) X1=A11X1+A12X2+F1
(2) X2=A21X1+A22X2+F2